Воспитанник белградского клуба «Партизан». Выступал за сербские клубы «Партизан», Спартак Златибор Вода, Будучность (Банатски-Двор), а также за турецкий «Газиантепспор».

 Дринчич в составе московского «Спартака»

6 февраля 2007 года Дринчич перешёл в пермский «Амкар». Он выступал за клуб с 2007 по 2009 год, являясь штатным исполнителем штрафных и угловых ударов. 17 ноября 2008 года Дринчич получил тяжёлую травму внутреннего мениска на правой ноге, из-за которой был прооперирован и два месяца не выступал. Зимой 2009 года Дринчичем интересовались итальянские клубы «Дженоа», «Лечче» и «Парма», Палермо, немецкий «Вольфсбург», а также клуб «Москва», однако переход ни в одну из этих команд не состоялся.

Летом 2009 года, во время паузы в чемпионате России, объявил о желании покинуть «Амкар». Приоритетным новым местом работы назвал клуб, который предложит зарплату больше, чем остальные. В июне 2009 года официальное предложение сделал клуб «Москва», затем московский «Спартак», однако оба клуба оказались неготовы выплатить за траснфер хавбека 2,5 млн евро.

11 января 2010 года Дринчич, в качестве свободного агента, перешёл в «Спартак», подписав контракт сроком на 4 года. «Спартак» Дринчич предпочёл итальянскому «Дженоа», предлагавший черногорцу контракт. 25 января 2010 года в товарищеском матче с сочинской «Жемчужиной» Дринчич получил тяжёлую травму, осколочный перелом большой берцовой кости правой голени со смещением; из-за повреждения Никола пропустил полгода. В июне Дринчич начал заниматься беговыми упражнениями. С 10 июля Дринчич приступил к полноценным тренировкам в составе команды. С 4 августа Никола стал тренироваться в общей группе состава «Спартака». Дебютировал в составе «Спартака» 15 октября 2010 в матче против владикавказской «Алании», заменив на 79-й минуте Ибсона. 4 ноября Дринчич дебютировал в Лиге чемпионов в игре с «Челси».